深圳网站建设智能 乐云践新/关键词排名的排名优化

当你的才华还撑不起你的野心时，你应该静下心去学习 。

前言

关于支持向量机(Support Vector Machine, SVM)的强对偶关系证明，我在网上浏览过各种版本，绝大部分是比较繁琐的公式推导，这显然不利于读者理解。我们可以尝试切换思路，用几何描述的方法比较直观清晰的推出结论，相信看完这篇文章你一定能豁然开朗！

正文

为了直观解释强对偶关系，我们把原问题限定在二维平面上(多维同理)，所以我们假设原问题(prime problem)为：

这里为了能限定在二维平面上，并且更简单直观，我们以只取一个约束条件为例。我们定义这个优化问题的定义域

,这样为解此问题，我们依然选择构造拉格朗日函数，得到：

我们设原问题的最优解

, 实际上也可表示成

,两者是等价的。那么，对偶问题的最优解相应即为

。

接下来很关键的一步，我们要构建一个二维坐标平面，这里用集合U表示，我们这样定义U，

, 为简化公式，我们定义

, 所以U可表示为

,这样我们就得到了我们想要的坐标系，Great!

为了不失普适性，我们用一个非凸函数(一个爱心)代表集合U在坐标系内的分布，有了这个坐标系，原问题最优解

就可以表示为

。

此处说明，inf表示下确界，可以理解为几何意义上的取”最低点“，

则是题给的约束条件。所以可以这样理解，原问题的最优解即为下图示阴影区域在z轴的投影所得线段的最低点p。

看完了原问题的最优解，我们再看看其对偶问题(dual problem)的解

,该式可以相应简化为$$d^* = \max_\lambda} \min_{x}(t+\lambda z) \tag 4$$,那么应该怎么在同一坐标系内表示出这个最优解d^*^呢？我们可以先看上式的后一部分

，我们用

表示它，即，

，我们尝试用我们构建的二维坐标系描述它，那么$g(\lambda) = \inf \left{t+\lambda z (t,z) \in U\right}$

根据上图，

实际就是在z轴的截距，假定初始状态

这条直线如蓝线1所示，那么要找到与爱心U“相擦”，并且截距最小的直线，即为上图中蓝线2，它与z轴的交点即为

。知道了

，

也很好求了，$$d^* = \max_{\lambda g(\lambda)$$，什么含义呢？就是反复调整蓝线2的斜率

,使其与z轴截距最大(但注意要保证和U相擦)，所以最优情况如下图红线所示(我寻思这图画着画着咋有点不对劲嘞...)，与U相擦，同时与Z轴交于d点，此即为d^*^ !!!

由图可以明显看出，d的值无论怎么取都不会超过p的,所以由此推的第一重关系-----弱对偶关系

。

好，那么如何才能使d,p两点重合在一点呢？很容易推得集合U(图中爱心)需要是凸函数，同时还需要满足slater条件，它的定义是：

slater条件实际上是原问题P可以等价于对偶问题Q的一个充分条件。

你的鼓励是我创作的动力，如果你有收获，点个赞吧

我接下来还会陆续更新机器学习相关的学习笔记，补充这个系列。如果看到这里的话，说明你有认真看这篇文章，希望你能有所收获！最后，欢迎交流指正！

还有不明白的欢迎阅读其他文章：